quarta-feira, 27 de junho de 2012

Pipas & Matemática




...A história das pipas possui mistérios, lendas, símbolos e mitos. Ela também encanta pela magia e beleza. Tudo deve ter começado quando o homem primitivo se deu conta de sua limitação diante da capacidade de voar dos pássaros. Essa frustração foi o mote para que ele desse asas a sua imaginação.

...Pipa, papagaio ou pandorga, entre outras denominações, pode ser definido como um brinquedo que voa preso a extremidade de uma linha ou barbante. Em geral, tem uma armação leve de bambu ou madeira, sobre a qual se estica uma folha de papel ou plástico.


... A Pipa também ajuda na construção dos conceitos matemáticos. Com ela podemos ensinar a geometria de forma lúdica, desenvolvendo o raciocínio lógico sempre promovendo, nesta construção, a formação do indivíduo com um trabalho cooperativo onde há respeito pelo ambiente em que se vive. Durante a construção, a Pipa, é caracterizada por alguns entes geométricos como: linhas concorrentes, paralelas, triângulos, retângulos, triângulos retângulo, losangos, ângulos etc.

...Quem achar, contudo que as pipas não têm outra utilidade, a não ser diversão, engana-se. O milenar brinquedo auxiliou na criação do pára-raios, esteve presente na primeira transmissão radiofônica e ainda auxiliou Santos Dumont em suas primeiras experiências, entre outros atributos.



...Os historiadores acreditam que tenha sido inventada entre 400 e 300 (A.C.) por Arquitas, um grego da cidade de Tarena. Os chineses afirmam, contudo, que o general Han Sin a inventou em 206 (AC), para uso dos militares.
...Em 1749 o escocês Alexander Wilson usou vários termômetros presos as pipas para medir a temperatura nas alturas. Já Benjamim Franklin, em 1752, utilizando uma pipa forrada de pano, demonstrou em um dia de chuva, que nas nuvens existe eletricidade estática, criando assim o pára-raios.

...O inglês Douglas Archibasld, em 1883, prendeu um anemômetro (medidor de vento) à linha de uma pipa e mediu a velocidade do vento a 360m de altura. A aerofotografia com o auxílio de pipas também é muito praticada desde o fim do século XIX. Guglielmo Marconi em 1901 usou uma pipa para erguer uma antena e fez a primeira transmissão de rádio.
...No fim do século XIX e inicio do século XX, o homem estava decidido a construir uma máquina que lhe permitisse voar, nessa época ele só tinha duas referências de vôo, que eram as aves e a pipa. Muitos tentaram imitar os pássaros com suas máquinas sem sucesso, outros tentavam usando pipas.
...Em 1906, depois de vários testes, o brasileiro Alberto Santos Dumont fez o primeiro vôo, usando um conjunto de pipas-caixas, acionadas por suas próprias forças. Este avião recebeu o nome de “14 BIS”. Fonte: www.pipas.art.br

...Nós brasileiros conhecemos as pipas através dos colonizadores portugueses por volta de 1596 que, por sua vez, as conheceram através de suas viagens ao Oriente. Um fato pouco conhecido de nossa História deu-se no Quilombo dos Palmares, quando sentinelas avançadas anunciavam por meio de pipas quando algum perigo se aproximava mais uma prova de que a pipa era conhecida na África há muito mais tempo, pois os negros já cultuavam-na como oferenda aos deuses. http://www.pipas.com.br

O Laboratório de Matemática


O Laboratório de Matemática é uma sala com jogos e materias práticos para o ensino de matemática, o laboratório é utilizado semanalmente por todas as turmas em que realizamos uma matemática experimental, divertida e concreta. O Laboratório de Matemática visa o aprimoramento da práxis dos professores possibilitando uma melhor qualidadede ensino para os alunos e auxiliando-os na tarefa de aprender cada vez melhor a matemática, num ambiente dinâmico e interativo. A matemática é vista como uma disciplina que traz grandes dificuldades para os alunos. Diante disso, a busca de meios para que a aprendizagem aconteça de forma mais ativa e que o aluno faça parte da aprendizagem, observando, refletindo e tirando conclusões, passa pela vivência dos conteúdos matemáticos, esta vivência pode se dar de diversas formas. Assim, o professor tem um papel decisivo e importante na sala de aula, uma vez que ele é quem conduz o processo ensino-aprendizagem, pois entendemos a escola como um local de construção de conhecimento e de socialização do saber; como um ambiente de discussão, troca de experiências e elaboração de uma nova sociedade, onde é fundamental que a utilização de recursos seja amplamente discutido e elaborada com a comunidade escolar.A implementação do laboratório tornou-se uma ferramenta fundamental para a aproximação do educando com a disciplina, foi surpendente a reação dos alunos ao descobrir uma matemática diferente e descomplicada.
Professora Patrícia Fabiano

A Matemática do Origami


Dobraduras de papel inspiram pesquisadores a buscar fórmulas originais para resolver problemas da tecnologiaCarmen Kawano

O papel aceita tudo. Isso vale também no contexto do estudo da matemática do origami? O ditado, aplicado ao ato de escrever, parece ser verdade também quando o computador nos dá os passos de dobradura para chegarmos a uma determinada figura com um pedaço de papel.

Praticado por séculos como atividade lúdica e artística, só recentemente o origami passou a ser atração acadêmica como objeto de estudos científicos. "Os pesquisadores foram atraídos provavelmente porque o origami instigou seus talentos matemáticos e científicos", afirma o matemático Thomas Hull, do Merrimack College, de North Andover, nos Estados Unidos, e editor do "Imagiro", publicação bimensal sobre origami que tem entre seus autores os mais renomados estudiosos no assunto.

"Tudo começou como um hobby para alguns pesquisadores", continua Hull. Ele conta que começou a praticar origami aos oito anos de idade. Na pós-graduação, percebeu que poderia estudar a matemática dessa arte e encontrou vários trabalhos sobre o assunto.

De hobby, o origami passou então a ser objeto de estudos matemáticos dos acadêmicos. Eles perceberam que a dobradura poderia ser usada para descrever movimentos e processos na natureza e na ciência, como o batimento das asas de um pássaro ou a deformação da capota de metal de automóveis em colisões. Os estudiosos passaram, então, a desenvolver teoremas para descrever os padrões matemáticos que viam nas dobraduras.

Na matemática, o origami pode ser tratado pela topologia e pela geometria combinatória. Diferentemente da geometria, na topologia as figuras podem ser esticadas ou deformadas de seu estado original sem passarem a ser consideradas objetos diferentes, desde que não se faça nenhum buraco ou qualquer remendo nelas.

Os especialistas em origami trabalham na construção de algoritmos, que são seqüências de passos definidos na solução de um problema, como, por exemplo, o algoritmo da divisão. Para desenvolver esse trabalho, eles recorrem à geometria combinatória, que permite obter fórmulas computacionais para a construção, por meio de dobraduras, das formas complexas e sofisticadas de origami. Com essas técnicas, eles procuram também obter a melhor seqüência de dobradura e o aproveitamento máximo da folha de papel para uma determinada figura que pretendam construir. Ao que tudo indica, qualquer procedimento que o computador fornecer pode ser feito no papel manualmente.

O desafio está em fazer o caminho inverso matematicamente. A partir de um origami aberto, com as marcas das dobras, os matemáticos recaem em complicados problemas com polinômios para descobrir, sem dobrar, em que figura um certo padrão de dobradura resultará.

Desse modo, o origami tornou-se nas últimas duas décadas inspiração para a busca de soluções de sofisticados problemas matemáticos e tecnológicos. Os especialistas obtiveram bons resultados e esperam aplicar seus estudos, por exemplo, a projetos de painéis solares, microcircuitos e até telescópios, que, se pudessem ser dobrados, poderiam ser usados em dispositivos menores que os existentes hoje.

Para alguns, o ato de dobrar papel para obter formas conhecidas pode perder seu charme criativo e artístico. Mas os amantes do origami tradicional não precisam recorrer aos passos matemáticos de dobradura para dar a forma que querem a um simples pedaço de papel.


Geometria com canudos


A geometria é, freqüentemente, ensinada no quadro negro ou através de Icosaedro montado com canudoslivros didáticos. Quando se trata de figuras planas esse método não representa grande dificuldade para o aprendizado da criança. Mas o mesmo não se pode dizer quando se deseja ensinar os elementos da geometria espacial. Portanto, neste material, sugiro a utilização de canudos de refrigerante na montagem de estruturas geométricas, como a mastrada na figura ao lado.

Pode-se ensinar geometria espacial por intermédio da montagem de sólidos, em que a criança recorta um desenho numa folha de cartolina e, através de dobraduras e colagem, monta um sólido geométrico. Porém, a atividade que é proposta aqui, além de possibilitar que a criança construa estruturas e "brinque" com a geometria espacial, torna possível a visualização de alguns elementos que na atividade com cartolina são menos notados. Estes elementos são as arestas e os vértices dos sólidos.



A estrutura mais simples para se montar é a do tetraedro (poliedro de quatro faces) que possui 6 arestas e 4 vértices. Na figura ao lado nota-se que cada aresta do tetraedro corresponde a um canudo. Portanto, para montá-lo será necessário dispor de 6 canudos de refrigerante.

Ligar um canudo ao outro pode parecer algo complicado a princípio, mas essa tarefa ficará mais fácil depois de algumas tentativas.


Para começar a construção da estrutura deve-se iniciar pela base (alicerce), que é um triângulo. Se o tetraedro é regular então o triângulo deverá ser equilátero. A construção da base começa passando-se o barbante por três canudos.





Depois de passar o barbante pelos canudos passa-se novamente pelo primeiro canudo da fileira. Desse jeito não será preciso dar um nó, ainda.


Concluída esta etapa temos a estrutura como mostrada na figura ao lado. Assim já podemos levantar o tetraedro, que também é uma pirâmide de base triangular.




Pegamos a ponta do barbante que acabamos de passar pelo canudo da base e passamos por dois outros canudos.





Em seguida passamos o barbante por mais um canudo da base. A ponta sairá na outra extremidade e poderemos passá-la pelo último canudo.


Assim como fizemos para fechar o triângulo da base, faremos para fechar o tetraedro. Ou seja, passaremos mais uma vez o barbante por dentro do canudo mostrado na figura ao lado. Para que a estrutura fique bem firme é interessante passar o barbante duas vezes pelo mesmo canudo.






Com isso as extremidades adjacentes dos canudos ficarão conectadas.Em vez de usar barbante para unir os canudos pode-se usar bolinhas de isopor ou massa de modelar.




Outro poliedro que pode ser montado é o cubo (hexaedro). Ele tem 6 faces e 12 arestas, necessitando, assim, de 12 canudos. Porém a estrutura não ficará estável, ou seja, ela não fica de pé facilmente. Sendo preciso fazer várias conexões entre os vértices opostos.

Já a pirâmide de base quadrada fica de pé, mas se manuseada ela pode deformar-se. Para construí-la serão necessários 8 canudos.

Dar sentido aos números


Por vezes questiono-me acerca do que é que as pessoas pensam ao contactarem com um determinado conjunto de símbolos numéricos a que chamamos vulgarmente, em contexto de aula de matemática, numerais.

Por exemplo, vejamos o seguinte conjunto de quatro numerais: 4, 12, 24, 40. O que pensamos ao vermos estes símbolos? Será que todos os analisamos da mesma forma? Será que para cada um de nós eles representam a mesma coisa? Deixo o desafio a cada um dos meus leitores poder escrever o que pensa acerca do conjunto destes quatro numerais.

Mas o que será expectável surgir da sua análise?

- Que o primeiro deles não se relaciona com os demais por ser o único que é formado por um só dígito?

- Que o segundo não se relaciona com os demais por ser o único cuja soma dos seus dígitos não origina um número par?

- Que os números estão relacionados através de um padrão ou regularidade? De facto:
4 = 4
12 = 4 + 8
24 = (4 + 8) + 12
40 = (4 + 8 + 12) + 16

- Que os números obedecem a uma regularidade ou padrão associada ao número quatro? De facto:
4 = (1 x 4)
12 = (1 x 4) + (2 x 4)
24 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4)
40 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4)

- Que todos se podem associar à tabuada do quatro? De facto:
4 = 4 x 1
12 = 4 x 3
24 = 4 x 6
40 = 4 x 10
  
Nota: Que tipo de números são os fatores da direita de cada uma das multiplicações anteriores?

 - Que todos se podem associar à tabuada do três, conjugada com a operação adição? De facto:
4 = 3 x 1 + 1
12 = 3 x 3 + 3
24 = 3 x 6 + 6
40 = 3 x 10 + 10
  
Nota: Que tipo de números são as parcelas da direita destas adições?
  
- Que todos se podem associar à tabuada do cinco, conjugada com a operação subtração? De facto:
4 = 5 x 1 - 1
12 = 5 x 3 - 3
24 = 5 x 6 - 6
40 = 5 x 10 - 10

Nota: Que tipo de números são os subtrativos destas subtrações?

- Que todos eles se podem decompor em somas de parcelas iguais? De facto:
4 = 2 + 2
12 = 6 + 6
24 = 12 + 12
40 = 20 + 20 

Nota: Que tipo de números são as parcelas da direita destas adições?

- Que todos eles podem ser decompostos em adições especiais, do tipo (x + x2) + (x + x2)? De facto:
4 = (1 + 12) + (1 + 12)
12 = (2 + 22) + (2 + 22) 
24 = (3 + 32) + (3 + 32) 
40 = (4 + 42) + (4 + 42)

- Que todos podem ser decompostos numa adição de um número oblongo [a x (a + 1)] com o dobro de um número triangular (n2 + n) : 2? De facto:
4 = 1 x 2 + 2 x 1
12 = 2 x 3 + 2 x 3
24 = 3 x 4 + 2 x 6
40 = 4 x 5 + 2 x 10

- Que outras interpretações podem ser feitas em relação a tão enigmática sequência numérica? Que número lhes poderá dar continuidade?

Perante a análise realizada acima, é desejável que se conclua o seguinte:

4 = 4
12 = 4 + 8
24 = (4 + 8) + 12
40 = (4 + 8 + 12) + 16
(4 + 8 + 12 + 16) + 20 = 60
 
4 = (1 x 4)
12 = (1 x 4) + (2 x 4)
24 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4)
40 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4)
(1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4) + (5 x 4) = 60
 
4 = 4 x 1
12 = 4 x 3
24 = 4 x 6
40 = 4 x 10
4 x 15 = 60
 
4 = 3 x 1 + 1
12 = 3 x 3 + 3
24 = 3 x 6 + 6
40 = 3 x 10 + 10
3 x 15 + 15 = 60
 
4 = 5 x 1 - 1
12 = 5 x 3 - 3
24 = 5 x 6 - 6
40 = 5 x 10 - 10
5 x 15 - 15 = 60
 
4 = 2 + 2
12 = 6 + 6
24 = 12 + 12
40 = 20 + 20
30 + 30 = 60
 
4 = (1 + 12) + (1 + 12)
12 = (2 + 22) + (2 + 22) 
24 = (3 + 32) + (3 + 32) 
40 = (4 + 42) + (4 + 42)
(5 + 52) + (5 + 52) = 60
 
4 = 1 x 2 + 2 x 1
12 = 2 x 3 + 2 x 3
24 = 3 x 4 + 2 x 6
40 = 4 x 5 + 2 x 10
5 x 6 + 2 x 15 = 60

Qual a lei geral para cada um dos oitos casos propostos na tabela acima? Com base nessas leis, qual o décimo elemento desta sequência numérica?

A título de exemplo, vejamos o último caso, em que se adiciona um número oblongo ao dobro de um número triangular. Ora, uma vez que a lei que gera os números oblongos é [n x (n + 1)] e a lei que gera os números triangulares é (n2 + n) : 2, então da sua adição resultam os seguintes cálculos:

[n x (n + 1)] + 2 x [(n2+ n) : 2] = n2+ n + n2+ n = 2n2+ 2n = 2n x (n + 1)

Logo, se n = 10, então 2 x 10 x (10 + 1) = 20 x 11 = 220

Comprove se, de facto, o valor 220 é o 10º elemento desta sequência nos restantes sete casos analisados.

À procura de regularidades

À procura de regularidades
Tem sido hábito neste blog eu suscitar a reflexão relativamente às múltiplas maneiras como os números se podem relacionar entre si. Muitas vezes essas relações são explícitas e evidentes, outras carecem de alguma investigação, suportada inicialmente apenas por intuição, intuição essa que acaba por gerar descoberta ou confirmação de relações matemáticas aparentemente inexistentes.

O exemplo que trago para ajudar a confirmar este segundo tipo de relações numéricas assenta na seguinte figura, constituídas pelos primeiros oito números naturais consecutivos:


O objetivo é investigar se existe algum tipo de regularidade se se considerar, de cada vez, a soma de quatros desses números, de acordo com o esquema de análise seguinte:

   
     
   
  
 Vejamos cada caso: 

1 + 2 + 3 + 4 = 10


4 + 5 + 6 + 7 = 22


7 + 8 + 1 + 2 = 18



2 + 3 + 4 + 5 = 14



5 + 6 + 7 + 8 = 26



8 + 1 + 2 + 3 = 14


  3 + 4 + 5 + 6 = 18


  6 + 7 + 8 + 1 = 22



1 + 2 + 3 + 4 = 10


 

Curiosamente, se colocarmos as várias somas obtidas em linha, verificamos que existe uma regularidade numérica, pois o que acontece antes do valor central, volta a ocorrer a seguir a ele, num processo simétrico:

10     22     18     14     26     14     18     22     10

Se se substituírem os valores iniciais pelos seus respetivos dobros, o que é previsível que aconteça? Consegue antever a menor e a maior das somas?

Analisem-se, então, as várias figuras se a inicial for a seguinte:


As novas somas associadas às nove figuras respetivas são as seguintes: 

2 + 4 + 6 + 8 = 20


8 + 10 + 12 + 14 = 44


14 + 16 + 2 + 4 = 36

 

4 + 6 + 8 + 10 = 28



10 + 12 + 14 + 16 = 52



16 + 2 + 4 + 6 = 28



6 + 8 + 10 + 12 = 36



12 + 14 + 16 + 2 = 44



2 + 4 + 6 + 8 = 20



Tal como, provavelmente, seria de prever, os valores de cada soma duplicam os respetivos valores de cada soma da tarefa anterior:

20     44     36     28     52     28     36     44     20  

Uma vez mais, constata-se a existência de uma regularidade de cariz simétrica, tendo em conta o valor central.

Note-se que estivemos a fazer com estudo envolvendo os primeiros oito números pares. O que ocorrerá se se comparar este estudo com um outro, envolvendo os primeiros oito números ímpares?

A figura inicial será a seguinte:


Consegue antecipar resultados? Com que fundamentação o faz?

Simetria na Natureza

Uma das primeiras características geométricas com que deparamos quando procuramos detectá-las na Natureza é, porventura, a simetria.
A simetria na Natureza é um fenómeno único e fascinante. Esta ideia surge naturalmente ao espírito humano, remetendo-o para um equilíbrio e proporção, padrão e regularidade, harmonia e beleza, ordem e perfeição. Estes são alguns dos vocábulos que resumem reacções que temos inerentes às simetrias que abundam na Natureza, nas formas vivas e inanimadas.
Podemos encontrar simetrias sob as mais diversas formas e em diferentes locais.
Uma figura geométrica plana diz-se simétrica se for possível dividi-la por uma recta, de forma que as duas partes obtidas se possam sobrepor por dobragem. As rectas que levam a esse tipo de divisão chamam-se eixos de simetria da figura.
Um perfeito exemplo de simetria encontrada na natureza é o caso da borboleta, a qual apresenta um único eixo de simetria.


Todavia existem figuras que podem ter vários eixos de simetria ou nenhum.
A simetria bilateral é imediatamente detectada nesta imagem da cabeça de uma coruja.
No dente-de-leão é facilmente perceptível o arranjo em simetria radial.



Mas a assimetria (ou a não-simetria) é uma característica que também ocorre. Verificam-se mesmo alguns casos invulgares que têm deixado intrigados os observadores, como sucede, por exemplo, com a solha.
Notem-se, no caso do peixe achatado, os dois olhos na mesma face, assim como a boca deformada.

Podemos encontrar outras formas de assimetria, mas igualmente relacionadas com a matemática. Um das das mais frequentes, sobretudo entre as plantas, mas também presente no reino animal é a espiral, reconhecível no desenho das conchas de caracóis, búzios e afins.
É facilmente identificada, no caracol, a forma espiralada exibida pela casca.

Reflexões que devemos fazer para resolver os exercícios



Sempre fui preocupado nos métodos que devemos aplicar ou nas reflexões que devemos fazer para resolver os exercícios, compreender uma demonstração ou mesmo uma teoria.


Deste modo, sempre penso em alguma frase motivadora para vencer esses desafios, que apresento agora a todos vocês.

[;1);] Você nunca realmente perde até parar de tentar.
Mike Dikta

[;2);] Só erra quem produz. Mas só produz quem não tem medo de errar.
Anônimo

[;3);] Se você pensa sobre isso tempo suficiente, perceberá que isso é óbvio.
Saul Gorn

[;4);] Muitas coisas não ousamos empreender por parecerem difíceis; entretanto são difíceis porque não ousamos empreendê-las.
Sêneca

[;5);] Os primeiros passos são inúteis quando não se percorre o caminho até o fim.
Shankara

[;6);] Não há sentido em ser exato quando você nem sabe o que está falando.
John Von Neuman
 
fonte: http://fatosmatematicos.blogspot.com.br