Por
vezes questiono-me acerca do que é que as pessoas pensam ao contactarem
com um determinado conjunto de símbolos numéricos a que chamamos
vulgarmente, em contexto de aula de matemática, numerais.
Por exemplo, vejamos o seguinte conjunto de quatro numerais: 4, 12, 24, 40. O
que pensamos ao vermos estes símbolos? Será que todos os analisamos da
mesma forma? Será que para cada um de nós eles representam a mesma
coisa? Deixo o desafio a cada um dos meus leitores poder escrever o que
pensa acerca do conjunto destes quatro numerais.
Mas o que será expectável surgir da sua análise?
- Que o primeiro deles não se relaciona com os demais por ser o único que é formado por um só dígito?
- Que o segundo não se relaciona com os demais por ser o único cuja soma dos seus dígitos não origina um número par?
- Que os números estão relacionados através de um padrão ou regularidade? De facto:
4 = 4
12 = 4 + 8
24 = (4 + 8) + 12
40 = (4 + 8 + 12) + 16
- Que os números obedecem a uma regularidade ou padrão associada ao número quatro? De facto:
4 = (1 x 4)
12 = (1 x 4) + (2 x 4)
24 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4)
40 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4)
- Que todos se podem associar à tabuada do quatro? De facto:
4 = 4 x 1
12 = 4 x 3
24 = 4 x 6
40 = 4 x 10
Nota: Que tipo de números são os fatores da direita de cada uma das multiplicações anteriores?
- Que todos se podem associar à tabuada do três, conjugada com a operação adição? De facto:
4 = 3 x 1 + 1
12 = 3 x 3 + 3
24 = 3 x 6 + 6
40 = 3 x 10 + 10
Nota: Que tipo de números são as parcelas da direita destas adições?
- Que todos se podem associar à tabuada do cinco, conjugada com a operação subtração? De facto:
4 = 5 x 1 - 1
12 = 5 x 3 - 3
24 = 5 x 6 - 6
40 = 5 x 10 - 10
Nota: Que tipo de números são os subtrativos destas subtrações?
- Que todos eles se podem decompor em somas de parcelas iguais? De facto:
4 = 2 + 2
12 = 6 + 6
24 = 12 + 12
40 = 20 + 20
Nota: Que tipo de números são as parcelas da direita destas adições?
- Que todos eles podem ser decompostos em adições especiais, do tipo (x + x2) + (x + x2)? De facto:
4 = (1 + 12) + (1 + 12)
12 = (2 + 22) + (2 + 22)
24 = (3 + 32) + (3 + 32)
40 = (4 + 42) + (4 + 42)
- Que todos podem ser decompostos numa adição de um número oblongo [a x (a + 1)] com o dobro de um número triangular (n2 + n) : 2? De facto:
4 = 1 x 2 + 2 x 1
12 = 2 x 3 + 2 x 3
24 = 3 x 4 + 2 x 6
40 = 4 x 5 + 2 x 10
-
Que outras interpretações podem ser feitas em relação a tão enigmática
sequência numérica? Que número lhes poderá dar continuidade?
Perante a análise realizada acima, é desejável que se conclua o seguinte:
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4 = 4
12 = 4 + 8
24 = (4 + 8) + 12
40 = (4 + 8 + 12) + 16
(4 + 8 + 12 + 16) + 20 = 60
|
4 = (1 x 4)
12 = (1 x 4) + (2 x 4)
24 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4)
40 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4)
(1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4) + (5 x 4) = 60
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4 = 4 x 1
12 = 4 x 3
24 = 4 x 6
40 = 4 x 10
4 x 15 = 60
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4 = 3 x 1 + 1
12 = 3 x 3 + 3
24 = 3 x 6 + 6
40 = 3 x 10 + 10
3 x 15 + 15 = 60
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4 = 5 x 1 - 1
12 = 5 x 3 - 3
24 = 5 x 6 - 6
40 = 5 x 10 - 10
5 x 15 - 15 = 60
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4 = 2 + 2
12 = 6 + 6
24 = 12 + 12
40 = 20 + 20
30 + 30 = 60
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4 = (1 + 12) + (1 + 12)
12 = (2 + 22) + (2 + 22)
24 = (3 + 32) + (3 + 32)
40 = (4 + 42) + (4 + 42)
(5 + 52) + (5 + 52) = 60
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4 = 1 x 2 + 2 x 1
12 = 2 x 3 + 2 x 3
24 = 3 x 4 + 2 x 6
40 = 4 x 5 + 2 x 10
5 x 6 + 2 x 15 = 60
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Qual
a lei geral para cada um dos oitos casos propostos na tabela acima? Com
base nessas leis, qual o décimo elemento desta sequência numérica?
A
título de exemplo, vejamos o último caso, em que se adiciona um número
oblongo ao dobro de um número triangular. Ora, uma vez que a lei que
gera os números oblongos é [n x (n + 1)] e a lei que gera os números
triangulares é (n2 + n) : 2, então da sua adição resultam os seguintes cálculos:
[n x (n + 1)] + 2 x [(n2+ n) : 2] = n2+ n + n2+ n = 2n2+ 2n = 2n x (n + 1)
Logo, se n = 10, então 2 x 10 x (10 + 1) = 20 x 11 = 220
Comprove se, de facto, o valor 220 é o 10º elemento desta sequência nos restantes sete casos analisados.
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